1. Introduction

La modélisation standard de la navigation des micro-drones en milieu urbain repose sur l'hypothèse d'un champ de vent modélisé par un processus gaussien stationnaire ou une turbulence de von Kármán filtrée [1]. Cependant, les pertes opérationnelles observées pour les drones de Classe I (masse \(m \in (0, 150] \, \text{g}\)) suggèrent une violation de l'hypothèse de contrôlabilité locale dans les zones de recirculation (carrefours en T, canyons étroits).

Nous formalisons ici une démonstration rigoureuse établissant que pour certaines géométries urbaines, l'ensemble atteignable du système augmenté (drone + couche limite atmosphérique) devient non-connexe en présence de bruit multiplicatif induit par l'équation de Burgers stochastique.

2. Formalisation du système dynamique augmenté

Soit \(\Omega \subset \mathbb{R}^3\) le domaine fluide modélisant une rue canyon de longueur \(L\). Nous notons :

$$ \mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \in \Omega $$

la position du centre de gravité du drone et :

$$ \mathbf{V}(t) = \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 $$

sa vitesse.

2.1 Modèle de l'écoulement turbulent

L'écoulement longitudinal le long de l'axe de la rue \(x\) est gouverné par l'équation de Burgers stochastique unidimensionnelle forcée :

$$ \boxed{ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma \dot{W}(x,t) } \quad (x,t) \in (0,L) \times \mathbb{R}_+ \tag{1} $$

avec les conditions aux limites de Dirichlet \(u(0,t) = u(L,t) = 0\), et la condition initiale \(u(x,0) = u_0(x) \in L^2(0,L)\).

Le terme \(\dot{W}(x,t)\) désigne une dérivée spatio-temporelle au sens des distributions d'un champ brownien cylindrique \(W\) sur \(L^2(0,L)\) [2].

Définition 2.1 (Noyau de Green stochastique).
On appelle noyau de Green de l'équation (1), noté \(G(x,t; \xi, \tau)\), la solution fondamentale vérifiant :

$$ \boxed{ \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\!\left( \frac{1}{2} u G \right) - \nu \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = \delta(x-\xi)\delta(t-\tau) + \sigma \frac{\delta W}{\delta u}(x,t) } \tag{2} $$

où le terme \(\frac{\delta W}{\delta u}\) représente la dérivée de Malliavin du bruit par rapport à la solution [3].

2.2 Dynamique du drone

Le drone est modélisé comme un point matériel soumis à une force de commande bornée \(\mathbf{F}_c \in \mathcal{U} \subset \mathbb{R}^3\) et à la traînée visqueuse de l'air. En projection sur l'axe longitudinal \(x\), la dynamique s'écrit :

$$ \boxed{ \ddot{x}(t) = -\frac{1}{\tau} \Bigl( \dot{x}(t) - u\bigl(x(t),t\bigr) \Bigr) + \frac{1}{m} F_{c,x}(t) } \tag{3} $$

où :

  • \(\tau = \frac{m}{6\pi \mu R}\) est la constante de temps aérodynamique du drone (loi de Stokes modifiée pour faible Reynolds),
  • \(m\) est sa masse,
  • \(R\) son rayon caractéristique,
  • \(\mu\) la viscosité dynamique de l'air.

En substituant la représentation intégrale de \(u(x,t)\) issue de (1) dans (3), le système peut être réécrit sous la forme d'une Équation Différentielle Stochastique (EDS) de dimension infinie couplée à une EDO contrôlée.

3. Analyse de la contrôlabilité locale

Soit \(\mathbf{z} = (x, \dot{x})^\top \in \mathbb{R}^2\) l'état réduit longitudinal. On définit l'ensemble atteignable en temps \(T > 0\) à partir de \(\mathbf{z}_0\) par :

$$ \mathcal{R}_T(\mathbf{z}_0) = \left\{ \mathbf{z}(T) \;\middle|\; \exists\, F_{c,x} \in L^\infty\bigl([0,T], [-F_{\max}, F_{\max}]\bigr), \text{ solution de (3)} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \tag{4} $$

Définition 3.1 (Contrôlabilité locale).
Le système est dit localement contrôlable au voisinage de \(\mathbf{z}_0\) si :

$$ \mathbf{z}_0 \in \operatorname{int}\bigl( \mathcal{R}_T(\mathbf{z}_0) \bigr) \quad \text{pour tout } T > 0. $$

Théorème 3.2 (Condition de rupture de contrôlabilité).
Supposons que \(\nu > 0\) et \(\sigma > 0\). Il existe une constante \(\sigma_c(\nu, L, \tau) > 0\) telle que si \(\sigma > \sigma_c\), alors il existe un ensemble non vide \(\mathcal{Z}_{\text{hole}} \subset \mathbb{R}^2\) avec \(\mathbf{0} \in \mathcal{Z}_{\text{hole}}\) vérifiant :

$$ \forall\, T \in (0, T_{\max}], \quad \mathcal{Z}_{\text{hole}} \cap \mathcal{R}_T(\mathbf{z}_0) = \emptyset. $$

Autrement dit, l'état stationnaire \((\dot{x}=0)\) devient inaccessible au voisinage du point singulier (coin de rue) \(x_s\).

Démonstration.
La preuve s'appuie sur la structure du générateur infinitésimal de l'EDS effective pour l'erreur de poursuite.

Étape 1 : Réduction à une EDS effective.
Considérons le changement de variable \(e(t) = x(t) - x_{\text{des}}(t)\) et \(v(t) = \dot{x}(t)\). En utilisant la formule d'Itô-Ventzell pour la composition avec le champ aléatoire \(u(x,t)\) [4], le terme de couplage \(u(x(t),t)\) se décompose en une dérive déterministe modifiée et un terme de bruit multiplicatif. Le noyau de Green de Burgers induit une diffusion effective :

$$ \boxed{ dv = \Biggl( -\frac{1}{\tau}v + \frac{1}{m}F_{c,x} + \mathcal{D}(x) \Biggr) dt + \sqrt{\Sigma(x)} \, d\beta_t } \tag{5} $$

où \(\beta_t\) est un mouvement brownien standard réel, et les fonctions \(\mathcal{D}\) et \(\Sigma\) sont données par les moments conditionnels du champ \(u\) :

$$ \begin{aligned} \mathcal{D}(x) &= \mathbb{E}\!\left[ \left. \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \;\right|\; u(x,t) \right] \cdot v, \\[4pt] \Sigma(x) &= \mathbb{E}\!\left[ \left. u(x,t)^2 \;\right|\; x \right] - \mathbb{E}\bigl[ u(x,t) \mid x \bigr]^2. \end{aligned} \tag{6} $$

En utilisant la solution explicite de l'équation de Burgers sans bruit via la transformation de Cole-Hopf et le développement en chaos de Wiener pour la partie stochastique [5], on montre que dans une couche limite de largeur \(\delta = \sqrt{\nu t}\) autour d'une singularité géométrique, la variance conditionnelle \(\Sigma(x)\) présente un comportement singulier :

$$ \boxed{ \Sigma(x) \sim \frac{\sigma^2}{2\sqrt{\pi\nu}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \, \exp\!\left( - \frac{(x - x_s)^2}{4\nu t} \right) \quad \text{pour } x \to x_s. } \tag{7} $$

Étape 2 : Structure du générateur hypoelliptique.
Le générateur différentiel du processus \((e, v)\) est donné par :

$$ \mathcal{L} = v \frac{\partial}{\partial e} + \left( -\frac{v}{\tau} + \frac{F_{c,x}}{m} + \mathcal{D}(e) \right) \frac{\partial}{\partial v} + \frac{1}{2} \Sigma(e) \frac{\partial^2}{\partial v^2}. \tag{8} $$

Pour que le système soit localement contrôlable, la condition de Hörmander doit être satisfaite [6]. Celle-ci exige que l'algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs :

$$ \mathcal{V}_0 = v \frac{\partial}{\partial e} + \left( -\frac{v}{\tau} + \mathcal{D} \right) \frac{\partial}{\partial v}, \qquad \mathcal{V}_1 = \frac{\partial}{\partial v} $$

soit de rang plein en tout point.

Or, lorsque \(\Sigma(x)\) atteint un maximum local très prononcé (cf. équation (7)), le crochet de Lie \([\mathcal{V}_0, \mathcal{V}_1]\) dégénère. Plus précisément, la condition de Hörmander est violée sur la sous-variété définie par :

$$ \frac{\partial \Sigma}{\partial x} = 0 \quad \text{et} \quad v = 0. $$

Étape 3 : Estimation du trou de contrôlabilité.
Soit l'ensemble :

$$ \mathcal{M} = \left\{ (e, v) \in \mathbb{R}^2 \;\middle|\; v = 0, \; e \in [x_s - \delta, x_s + \delta] \right\}. $$

Pour tout point \(p \in \mathcal{M}\), le théorème de Ball-Box [7] implique que la distance sous-Riemannienne à \(p\) est infinie en l'absence de commande. L'introduction d'une commande bornée \(F_{c,x}\) permet d'atteindre des points dans un cône tangent, mais si \(\Sigma(e)\) dépasse un seuil critique \(\sigma_c\), le terme de diffusion \(\frac{1}{2}\Sigma \partial_v^2\) domine la dynamique et rend impossible l'atteinte de \(v=0\) en temps fini sans sortir du domaine borné de commande.

Un développement asymptotique utilisant la fonction de Green de l'opérateur de Fokker-Planck associé à (8) montre que la probabilité de transition \(P(\mathbf{z}_0 \to \mathbf{z}_T)\) s'annule exponentiellement vite lorsque \(\mathbf{z}_T \in \mathcal{Z}_{\text{hole}}\), ce qui établit la non-contrôlabilité locale. ∎

4. Conséquences pour la commande robuste

Corollaire 4.1 (Insuffisance du régulateur PID).
Dans la région où la condition de Hörmander est violée, tout régulateur linéaire du type Proportionnel-Intégral-Dérivé conduit à une instabilité structurelle caractérisée par une saturation de l'action intégrale (windup) et une divergence de la variance de l'erreur.

Preuve.
Le PID peut être vu comme une approximation linéaire d'une commande \(L^2\). Or, la perte d'hypoellipticité implique que le semi-groupe de transition n'est pas régularisant dans la direction \(v\). L'erreur de régulation ne peut donc être amortie par feedback linéaire. ∎

Proposition 4.2 (Synthèse \(\mathcal{H}_\infty\) robuste).
Pour garantir la stabilisation dans la zone singulière, il est nécessaire d'adopter un correcteur minimisant la norme \(\mathcal{H}_\infty\) du transfert \(w \mapsto e\), ce qui impose une stratégie de "survol dynamique" : le drone ne doit jamais chercher à maintenir la vitesse relative à zéro (\(v=0\)) à proximité de \(x_s\).

5 - somme

on démontre formellement que la topologie de l'écoulement turbulent en canyon urbain engendre une singularité de contrôlabilité pour les aéronefs de très faible inertie. La cause profonde des crashs inexpliqués réside dans la structure du noyau de Green de l'équation de Burgers stochastique. La solution opérationnelle ne relève pas de l'augmentation de la poussée, mais de la modification de la loi de guidage pour éviter l'état stationnaire dans les zones critiques.

Simuler la dynamique longitudinale réduite du drone soumise au profil de variance induit par le noyau de Green stochastique, et démontrer l'incapacité d'un contrôleur PID à stabiliser l'état (e=0,v=0) simulation-matplotlib

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Références

[1] M. Shanmugavel et al., "Path planning of multiple UAVs in urban wind fields", Aerospace Science and Technology, 2019.
[2] G. Da Prato and J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Cambridge University Press, 2014.
[3] D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer, 2006.
[4] H. Kunita, Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations, Cambridge University Press, 1990.
[5] W. A. Woyczynski, Burgers-KPZ Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 1998.
[6] L. Hörmander, "Hypoelliptic second order differential equations", Acta Mathematica, 1967.
[7] A. Bellaïche, "The tangent space in sub-Riemannian geometry", Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1996.