Objet : la modélisation mathématique d'une saturation de défense anti-aérienne (A2AD) par essaim de drones ou missiles et Optimisation du ratio d’interception \(P_s\) en environnement saturé.

1. Variables et Paramètres

  • \(N\) : Nombre de vecteurs entrants (assaillants).
  • \(M\) : Nombre de cellules d'interception (défenseurs).
  • \(P_k\) : Probabilité de destruction unitaire (Single Shot Probability of Kill).
  • \(\lambda\) : Taux d'arrivée des menaces (processus de Poisson).
  • \(\tau\) : Temps de régénération du système de conduite de tir.

2. Dynamique de Lanchester Augmentée

Le taux de dégradation des forces en présence est défini par le système d'équations différentielles couplées :

$$ \frac{dA}{dt} = -\alpha D(t) \cdot \Phi(P_k) $$
$$ \frac{D}{dt} = -\beta A(t) \cdot \Psi(\sigma) $$

Où \(\Phi\) représente l'efficacité de l'intercepteur et \(\Psi\) la saturation des senseurs sous bruit blanc gaussien \(\sigma\).

3. Probabilité de Saturation (\(P_{sat}\))

La probabilité qu'une cible pénètre la zone d'exclusion (Leakage) est calculée via la loi binomiale cumulée, pour \(k > M\) :

$$ P_{leak} = 1 - \sum_{i=0}^{M} \binom{N}{i} (P_k)^i (1 - P_k)^{N-i} $$

Si \(N \gg M\), on applique l'approximation de Poisson pour le flux de saturation :

$$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} $$

4. Optimisation du Vecteur d'Interception (Hamiltonien)

Pour minimiser la fonction de coût \(J\) (perte de ressources vs survie du point d'intérêt), on définit le Hamiltonien \(H\) :

$$ H(x, u, p, t) = L(x, u, t) + p^T f(x, u, t) $$

Sous la contrainte de Pontryagin pour la trajectoire optimale d'interception :

$$ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} \implies \nabla_u H = 0 $$

5. Seuil de Rupture Systémique

Le point de bascule opérationnel \(\Omega\) est atteint lorsque la demande de calcul \(C_{req}\) excède la capacité de traitement du système de combat \(C_{sys}\) :

$$ \Omega = \int_{0}^{T} \lambda(t) dt > \frac{M}{\tau \cdot (1 - P_{miss})} $$

La survie est une fonction inverse de la densité de flux \(\lambda\). L'avantage tactique est obtenu strictement quand \(N > \frac{M}{P_k}\).